音律

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从一个起点音³出发，毕达哥拉斯发现比例为$1:2$的音程最为和谐，这个比例被称为纯八度。其次，比例为$2:3$的音程也很和谐，这个比例被称为纯五度。其中的规律是：比例越简单的音程越和谐。若我们令$𝑟=3/2$则有：

五度相生律很好，但是它并不适合传统作曲和演奏。特别是C♯与D♭的音高不同，给升调、降调以及和弦的推导带来了困难。为了解决这个问题，音乐家们发明了十二平均律。它的原理是将一个八度音程分成12个相等的音程，每个音程的比例为$2^{1/12}$。在这种情况下，令$𝑟$的值为$2^{1/12}$，十二平均律则为：

十二平均律的代价是其音程并不完美，例如纯五度变为了$1.4983𝐶$而非$1.5𝐶$。

1. 维基百科：五度相生律
2. 维基百科：五度相生律
3. 在FL Studio等宿主软件中，这个音一般是A，且$𝐴=440\text{ Hz}$